ヘーゲルの言葉は難しくて私にはよくわからない．本書を読む上では「ものの集まりをひと塊にして，それをひとつのものとみなす」という理解で十分であろう．
「たびたび引き合いに出される」というのは，p.43 で部分集合をひとつの要素とみなすところと，p.80 で類をひとつのものと考えるところ．
「集合」を知らないものとして書かれている．1952年当時の読者は集合になじみがなかったのだと思う．
遺産相続の例（p.17）をまねるのが簡単であろう．奇数番目のリンゴをミカンに対応させ，偶数番目を余らせる．
高校までの数学では明確でないが，微分積分学の基礎は実数論にあるため．
カントールの定義は p.13 参照．
定規とコンパスで任意の角を 3 等分することができないことはよく知られている．
この問題は，
\(a=\sin \theta\)
という長さが与えられたとき，\(x=\sin (\theta/3)\)
という長さが作図できるかとして扱う．3倍角の公式 \(\sin 3\phi=3 \sin \phi -4 \sin^3\phi\) より，
\(a=3x-4x^3\)
となるから，3 次方程式の問題になる．もちろん 0 でもよい．
背理法のこと．
直前の議論からは「直線上」ではなく「線分上」であろう．ここから先の話の流れから見ても「線分上」の間違いと思われる．
線分（あるいは直線）上の点全体の計数を「連続の濃度（cardinality of the continuum）」という．「\(\mathfrak{c}\)」は continuum の頭文字をドイツ文字で表記したもの．あとの章でもよく出てくるから覚えておく必要がある．
図について説明しておく．
直線 \({\rm AB}\) を \(m\) として図示したのが下図．線分は端点を含まず，折ったものが \({\rm ABC}\) である．\({\rm A,\, O,\, C}\) は直線 \(m\) と平行な直線上にとる．テキストでは折れ線と直線がくっついているが，この図のように離してもよい．
「中央で折って」とあるが，適当なところで折っている．正確に線分の中点で折れば \({\rm AB=BC}\) になる．
この注釈は神経質すぎるので，気になる人以外は読まない方がよい．
正方形内の点なので \(0\lt x \lt 1,\, 0 \lt y\lt 1\) としたいところだが，以下の議論で \(z=0.9191919\cdots\) のとき \(x=0.99999\cdots =1\) となるためうまくない．
\( 0 \lt x\leqq 1,\, 0 \lt y\leqq 1,\, 0 \lt z\leqq 1 \)とするのがよい．そして，0.2 と 0.19999… という 2 通りの表し方があるときは後者をとり，テキスト p.187 の「注 (2) 」にある区切りを採用するのが厳密である．
このとき，\((x,y) \leftrightarrow z\) という一対一対応があることになる．
無限集合に要素を 1 つ加えても計数は変わらない（p.40の注釈できちんと示す）．よって，\(0 \lt x \lt 1\) と \(0 \lt X \leqq 1\) の間には，
\( x \leftrightarrow X \)という一対一対応がある．同様に，\(0\lt Y\lt 1,\, 0\lt Z\lt 1\) とするとき，\(y \leftrightarrow Y, z \leftrightarrow Z\) の一対一対応がある．
以上のことから，
\((X,Y) \leftrightarrow (x,y) \leftrightarrow z \leftrightarrow Z\)
がそれぞれ一対一に対応するので，正方形内の点 \((X, Y)\) の計数は \(\mathfrak{c}\) になる．
やり方はいろいろであろう．一例を示す．正方形は境界を含まないものとする．正方形の下側に頂点を持つ四角錐を作る．下図で青いのが正方形 \({\rm ABCD}\)．真上から光を当てると考えて，正方形内の各点 \({\rm P}\) を \({\rm \triangle EAB,\, \triangle EBC,\, \triangle ECD,\, \triangle EDA}\) からなる側面（灰色部）に落とす．その点を \({\rm P'}\) とする．
次に，\({\rm ABCD}\) が平面と平行になるように立てる．正方形のまん中の点 \({\rm O}\) から \({\rm P'}\) を平面に投影する．\({\rm P \to P' \to P''}\) によって，正方形内の点と平面上の点が一対一に対応する．
1 次元の直線と 2 次元の平面を区別しないという意味．
直感的に明らかだが理由を付けておく．\({\rm M}\) を無限集合とし，その計数を \(\mathfrak{m}\) とする．\({\rm M}\) から順次要素を抜き出し \(\{m_1, \,m_2, \,m_3, \,\cdots \}\) という可符番無限の部分集合を作る．\({\rm M}\) を次のように2つに分ける．
\(\{m_1, \,m_2, \,m_3, \,\cdots \} + \{\text{左記以外の要素}\}\)
\(m_1, \,m_2, \,m_3,\,\cdots\) ですべて取り尽くしてしまい「左記以外の要素」がなければ，そこは空集合とする．\({\rm M}\) に新しい要素 \(\alpha\) をつけ加えた集合を \({\rm M'}\) とし，\({\rm M}\) から \({\rm M'}\) への対応を作る．
\(\{m_1, \,m_2, \,m_3, \,\cdots \}\) の部分では次のように要素を対応させる．
| \(m_1\) | \(m_2\) | \(m_3\) | \(m_4\) | … |
| ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | |
| \(\alpha\) | \(m_1\) | \(m_2\) | \(m_3\) | … |
{左記以外の要素} があるなら，各要素に自分自身（正確には \({\rm M'}\) に属する自分の分身）を対応させる．
これで \({\rm M}\) から \({\rm M'}\) への一対一対応になるから，\(\mathfrak{m}+1=\mathfrak{m}\) である．
\(\mathfrak{M}\) はドイツ文字の M．この記法は，あとの章でも使われる．
現代の読者には \(\phi\) で通じるであろう．
一対一対応が存在したとして，\(a\in {\rm M}\) に部分集合 \({\rm S}(a)\in \mathfrak{M}\) が対応しているとする．
\(a \leftrightarrow {\rm S}(a).\)
あらゆる \(a\) について「\(a \notin {\rm S}(a)\) のときに限り \(a\in {\rm N}\)」として部分集合 \({\rm N}\) を作ればよい．本書で何度も出てくる記法で，合併集合 \({\rm A}\cup {\rm B}\) のことである．1952年当時の読者は集合の記号に通じていないので，わかりやすい「＋」を用いたのだろう．
\({\rm A}\) と \({\rm B}\) が共通の要素をもたないときの合併集合を「直和」といい \(\mathrm{A\oplus B}\) などと書くことがある．3つ以上の集合でも，要素に重複がない場合に \(\mathrm{A\oplus B\oplus C}\) という具合に書く．
テキストには「\({\rm A}\) と \({\rm B}\) は共通の要素をもたない」とあるので，ここの \({\rm A+B}\) は「直和」と解釈する方がよいかもしれない．たしかに，第2章の途中までは「+」を「直和」と解釈するのが適切である．しかし，p.92 から先では「\(\cup\)」の意味で使われている．この記法が出てくるときは注釈を入れることにする．
テキストには定義が述べられていない．計数の乗法は次のように定義する．
集合 \({\rm M}\) の計数が \(\mathfrak{m}\)，集合 \({\rm N}\) の計数が \(\mathfrak{n}\) のとき，\({\rm M}\) の要素と \({\rm N}\) の要素のペアからなる集合
\(\{(x,\,y)\,|\,x\in {\rm M},\,y\in {\rm N}\}\)
の計数を \(\mathfrak{m}\cdot \mathfrak{n}\) と定義する．
| p.46 | \(\mathfrak{m}\geqq \mathfrak{n}\) なら，\(\mathfrak{m}+\mathfrak{n}=\mathfrak{m}\quad \mathfrak{m}\cdot \mathfrak{n}=\mathfrak{m}\) |
結果が述べられているだけで，テキスト中に理由は書かれていない．
\({\rm A}\cap {\rm B}\) と同じ．少し前にある \(\mathfrak{m}\cdot \mathfrak{n}\) の記法とは無関係．
群論で文字が働きを表すことについては第 2 章に説明がある．ブール代数については，草稿段階では第 2 章の後半にあったのだと思う．あとからここに挿入した際，直し忘れたのだろう．
「この代数」とはブール代数のこと．
